Texte à méditer :  Etre rebelle, c'est refuser l'idée que le monde est figé.  Benoît Duteurtre (Essayiste et romancier français)
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POURQUOI LES ALVEOLES SONT-ELLES HEXAGONALES ?
Jean LACUBE, revue Abeilles et Fleurs
Ce matin j’explore avec mes antennes le fond d’une alvéole. Je me surprends de toutes les ingéniosités que mes sœurs ont déployées. Judicieuse cette inclinaison ! Juste suffisante pour que le nectar ne coule pas. Certes la tension superficielle y contribue. Surprenant également d’avoir mis en opposition non pas une autre alvéole au risque d’un affaissement du fond, mais les cloisons de trois autres par un simple décalage. Pas étonnant que les hommes soient intrigués par notre organisation.
A périmètre égal, un carré est-il plus grand qu’un rectangle ?
La supposition d’une certaine intelligence de l’abeille a été longuement débattue et je ne suis pas sûr que tous les apiculteurs se satisfassent des dernières réponses de la science. Pour les mêmes raisons, la forme des alvéoles a toujours été l’objet de débats animés et d’une littérature abondante déjà bien avant Pappus, Kepler, Darwin, Buffon et j’en oublie ; la question principale étant : les abeilles ont-elles un sens inné de la géométrie, ont-elles donné volontairement aux alvéoles une forme hexagonale par souci d’économie de la cire afin de stocker un maximum de miel avec un minimum de cire ?
rect.png

La réponse serait-elle au bout de nos doigts ? Avec quatre doigts ou quatre bâtons et une ficelle nouée à ses deux extrémités nous pouvons dessiner dans l’espace des quadrilatères réguliers (fig.ci-contre).carre.png


Le périmètre de ces quadrilatères, matérialisé par la ficelle, est constant puisque la longueur de la ficelle (maintenue tendue) ne peut varier. Après avoir dessiné un rectangle (à gauche), dessinons un carré dans l’espace (à droite). Si nous comparons les deux quadrilatères, quel est celui dont la surface est la plus grande ? A périmètre égal la surface d’un rectangle est-elle différente de celle d’un carré ? La réponse est oui ; aussi surprenant que cela puisse paraître, nous allons le constater par nous-mêmes.
L’aspect économique
Soyons concret. Si vous disposez d’une certaine quantité de moellons ou de briques pour construire un cabanon, essayons de savoir si une construction à base carrée est plus grande qu’une construction à base rectangulaire (à périmètre, hauteur et nombre de moellons constants).
La surface d’un quadrilatère est égale au produit de L x l. En algèbre, et plus précisément dans le cadre de l’étude de la variation d’une fonction, le produit de deux nombres (L x l) de somme constante est maximum quand ces nombres sont égaux soit L = l , (cf. ALGEBRE de MAILLARD et MILLET, Hachette). Le produit étant la surface du quadrilatère et la somme étant le périmètre : à périmètre constant une surface de quadrilatère est à son maximum quand les deux côtés sont égaux.
Le tableau ci-dessous nous permet de comprendre, d’une part, que le fait de tendre vers l’égalité des côtés a pour effet d’augmenter la surface sans modifier le périmètre. Une forme ramassée est d’une capacité de stockage plus grande qu’une forme allongée (ce qui est vrai pour une surface l’est pour un volume).
D’autre part, toujours à périmètre constant, l’augmentation du nombre de côtés, jusqu’à l’infini, pour en arriver au cercle, en passant par l’hexagone, l’octogone, le décagone et le dodécagone, a pour effet d’augmenter également la surface.
Formes
Cotés
Nbr cotés
Périmètre
Surface
Quadrilatère rectangle allongé
5 m x 1 m
4
12 m
5 m2     
Quadrilatère rectangle ramassé
4 m x 2 m
4
12 m
8 m2     
Quadrilatère carré
3 m x 4 cotés
4
12 m
9 m2  
hexagone
2 m x 6 cotés
6
12 m
10,4 m2  
Cercle
rayon = 1,91 m
Infini
12 m
11,5 m2  
 
A l’inverse, toujours à périmètre égal, la surface peut devenir nulle si la largeur devient nulle. La longueur devient égale à un ½ périmètre.
En résumé, si la surface augmente en tendant vers l’égalité des côtés et par l’accroissement du nombre de côtés, la surface la plus grande est obtenue avec un cercle. Un volume maximum est obtenu avec un cylindre.
Mais les cylindres, même en quinconce, laissent des vides entre eux ; d’où une perte de place. Nous connaissons le problème du rangement des bouteilles. Mais, faire en série des bouteilles de section hexagonale, pose quelques problèmes. Ce qui n’est pas le cas du travail d’autres matières comme le bois, le ciment ou la cire.
Ainsi, si les abeilles sont vraiment soucieuses d’économiser la cire, il paraît évident que l’hexagone soit la forme idéale ?
Mais il convient d’être prudent. Devons-nous refuser toutes les autres explications du moment que l’une d’elles semble nous satisfaire. Pour BUFFON, nos abeilles sont un exemple d’organisation mais il faut nous garder de trop d’enthousiasme. Deux autres explications s’imposent peu à peu. Que devient le souci d’économie ? Pour ERASMUS BARTHOLIN, cette forme hexagonale serait le résultat inéluctable de l’action opposée de pressions égales exercées simultanément, ce qui expliquerait la forme anarchique des cellules périphériques. Pour D’ARCY-THOMPSON, il est probable que, si cette explication est à retenir, d’autres explications seraient liées aux propriétés des matériaux. En effet, la cire passe par un état semi-fluide soumis par la suite à une chaleur importante.
De l’aspect économique à l’aspect physique
Soyons prudents. Il ne semble pas aussi évident que le choix de la forme soit le simple fait du souci de l’économie de cire, si ce n’est, peut-être la conséquence naturelle du principe du minima. Il semblerait plus probable que ce soit la conséquence de la physique des matériaux ou plus vraisemblablement des forces opposées et égales de constructions des abeilles.
Longtemps l’idée d’économie prévalut, ainsi que le déclarait DARWIN : «...la sélection naturelle ne pouvait pas conduire à une plus grande perfection architecturale ; car la construction de chaque rayon de la ruche, autant que nous puissions le voir, est un modèle de perfection dans son souci d’économiser le travail et la cire... ». Suivant D’ARCY-THOMPSON, DARWIN aurait prêté trop d’attention à ce souci d’économie.
En fait, au risque de décevoir, si nous observons une construction d’une cellule isolée, comme c’est le cas d’une cellule royale, la qualité n’est guère remarquable tant la forme est aléatoire. C’est également le cas des cellules en périphérie des rayons. Pourquoi le souci d’économie serait-il différent en bordure ?
Pourtant, dans la 7e édition de son ouvrage, le Dr Karl von FRICH, prix Nobel de Médecine, donne sa préférence à l’économie « ..les abeilles ont donc trouvé la meilleure forme et la plus économique qui se puisse concevoir. Quant à savoir comment... ». Pappus l’Ancien affirmait que l’abeille était pourvue d’un certain sens de la géométrie. Kepler allait jusqu’à affirmer que les abeilles étaient douées d’une âme et, de ce fait, capables de raisonner avec la géométrie.
L’aspect physique
D’ARCY-THOMPSON, professeur de zoologie en Ecosse, dans son ouvrage « Formes et croissances » Édition du Seuil, va beaucoup plus loin : il nous démontre au contraire que la régularité que l’on observe d’ordinaire au coeur des rayons serait le résultat du jeu atomique de certaines forces physiques. Dans d’autres milieux que celui de la ruche on peut observer cette même forme d’hexagone. En effet si l’on maintient des bulles de savon dans un verre, les bulles se rejoignent trois par trois avec des angles proches de 120°. Au centre du rayon on peut observer les mêmes dispositions. Quand les sols argileux se rétractent lors d’une grande sécheresse on peut faire la même observation. Dans les coulées volcaniques on remarque également ces orgues de forme parfois hexagonale.
Pour des formes sphériques ou cylindriques, comme des grains de sable, si l’on considère un seul plan, on observe qu’un arrangement maximum conduit a un milieu hexagonal tendant vers une densité maximale.
Autre exemple : prenons plusieurs balles de tennis, entourons les sur une seule épaisseur avec une ceinture. Tout en serrant de plus en plus fortement la ceinture, maintenons les balles dans un même plan, plaquées sur une surface plane. Les points de contact de ces balles qui s’écrasent, vont tendre vers des droites de contact. L’angle de ces droites est aussi de 120°. Si nous considérons le plan commun de ces droites, les cercles se transforment progressivement en hexagones. Dans cet exemple, la force développée est celle produite en serrant la ceinture.
Dans la ruche, les alvéoles initialement circulaires deviendraient hexagonales sous l’effet des contraintes développées par les abeilles, contraintes opposées et égales pour repousser la matière là où les vides subsistent. La formation en polygone se fait sous l’effet d’interactions et leur transformation en hexagone lorsqu’ils sont soumis à cet environnement où toutes les conditions sont parfaitement symétriques. Dans tous les autres milieux, en périphérie, là où il n’y a pas uniformité des pressions, on ne retrouve pas cette régularité des formes que l’on observe au centre. Ceci est vrai pour les bulles de savon ou les sols argileux qui après avoir été saturés sont soumis à un grande sécheresse.
ERASMUS BARTHOLIN serait un des premiers à avoir donné un nouveau sens à la forme des cellules.
Le principe du minima
La notion d’économie, ou plutôt, le principe du minima est probablement la toile de fond de ces explications, mais ce principe ne peut expliquer à lui seul cette forme géométrique. Certes, REAUMUR prétend que tous les phénomènes reposent sur un principe de configuration minimale, dont le corollaire est une économie de matériau. En ce point, le milieu des abeilles rejoint les autres milieux qu’ils soient animal, végétal, minéral avec toutes leurs curiosités géométriques naturelles. En cela la position ERASMUS BARTHOLIN semble la plus probable. Le monde des abeilles a pu laisser croire à une intelligence où la maîtrise de la géométrie n’en serait qu’un des reflets ; et pourtant tout porte à en douter.
Ce ne serait pas le souci d’économie, qui supposerait un sens inné de la géométrie, mais le principe naturel du minima qui aurait conduit à ce système d’arrangement hexagonal. Cette hypothèse semble la plus vraisemblable.
Concepts mathématiques
Parmi toutes ces hypothèses, laquelle choisir ? Quelques concepts mathématiques et quelques principes dynamiques peuvent-ils venir en aide aux naturalistes ainsi que nous l’explique dans un style merveilleux et suranné  D’ARCY-THOMPSON. Il a su donner une explication là où les divagations allaient bon train :
« je pense que je suis capable de comprendre une part de la beauté et de l’utilité des mathématiques. Je sais que dans l’étude des choses matérielles, le nombre, l’ordre et la position constituent la triple clé de la connaissance exacte ; que dans les mains d’un mathématicien, ces clés donnent accès aux grandes lignes d’un schéma de l’Univers ; que le carré et le cercle nous aident, comme le charpentier d’Émile Verhaeren, à concevoir les lois indubitables et fécondes qui sont les règles et la clarté du monde »
Il ne manque pas, dans son ouvrage, d’attirer notre attention sur de curieux constats, comme le fait qu’en doublant sa longueur un poisson multiplie son poids par huit, ou qu’il double son poids s’il s’allonge de 25 %. Autre constat : une poutre de 1,80 m s’affaissera 1800 fois plus sous l’effet de son poids qu’une allumette de 5 cm de long. La Fontaine su le narrer en des termes plus poétiques dans la célèbre fable : Le chêne et le roseau.
Attention aux vérités trop bien ficelées
Ces différentes interprétations sur la forme des cellules d’abeilles nous montrent que la rigueur scientifique n’a pas toujours été de règle. Les apiculteurs, soucieux de mieux connaître leurs chères butineuses, s’interrogent devant les nombreuses contradictions. La cotation du fond des alvéoles en est une autre illustration.
MARALDI, REAUMUR ou KOENIG prétendaient que le fond d’une alvéole est composée de trois faces en losange. Cette forme permet l’emboîtage souhaité. La première mesure des angles obtus et aigus de ces losanges est attribuée à MARALDI : 109 ° 28 ’ et de 70 ° 32 ’. Puis ce fut REAUMUR qui pensait que la valeur de ces angles répondait au souci d’économie de cire. Le mathématicien fut chargé de calculer une solution architecturale optimale où la cire serait économisée au maximum : ses résultats révélèrent des écarts de 2 ‘ qui s’avérèrent par la suite être une erreur due à l’imprécision d’une résolution mathématique. Nombreux sont les articles écrits sur la valeur de ces angles. Et pourtant, la réalité est tout autre. A présent, nous savons que le fond des alvéoles est hémisphérique.
Ces investigations qui peuvent nous sembler puériles nous valurent une intervention célèbre de FONTENELLE, secrétaire perpétuel qui, exaltant les prouesses des abeilles, déclarait en 1739 : « la grande merveille est que la détermination de ces angles passe de beaucoup les forces de la Géométrie commune et n’appartient qu’aux nouvelles méthodes fondées sur la théorie de l’infini. Mais à la fin les abeilles en sauraient trop, et l’excès de leur gloire en est la ruine. Il faut remonter jusqu’à une intelligence infinie, qui les fait agir aveuglément sous ses ordres, sans leur accorder de ces lumières capables de s’accroître et de se fortifier par elles-mêmes, qui font l’honneur de notre Raison »… FONTENELLE déniait toute intelligence aux abeilles, mais convenait cependant qu’elles faisaient aveuglément usage des mathématiques les plus sophistiquées sous l’influence d’un commandement divin…Certains allant jusqu’à affirmer que les abeilles avaient trouvé la bonne solution là où les mathématiciens, comme KOENIG, avaient échoués...
Points de vue récents
D’après D’ARCY-THOMPSON, il semblait bien que l’architecture des alvéoles résulte de certaines forces physiques, d’un équilibre des pressions par le fait que les abeilles construisent ensemble les alvéoles en opposant leur force dans un environnement de symétrie parfaite. Il est vraisemblable que d’autres forces seraient à attribuer aux propriétés des matériaux. Compte tenu que la cire passe par un état semi-fluide soumis à une chaleur importante voisine de 40°, les tensions symétriques auxquelles sont soumis les matériaux semi-fluides, seraient suffisantes pour que le système parvienne à un état d’équilibre.
Le principe du minima de REAUMUR avec son corollaire sur l’économie de matériau est très certainement le lien entre ce qui a pu être dit dans le passé et ces nouvelles interprétations de BUFFON, D’ARCY-THOMPSON et ERASMUS BARTHOLIN.
Nos abeilles restent cependant un exemple d’organisation, mais comme le soulignait BUFFON gardons-nous de trop d’enthousiasme. Ces alvéoles régulières et bien “calculées” se retrouvent également dans le monde minéral et végéta :l
« chaque abeille cherche à occuper le plus d’espace possible dans un espace donné...les abeilles sont dit-on, plus ingénieuses que les guêpes, que les frelons, etc., qui savent aussi l’architecture, mais dont les constructions sont plus grossières et plus irrégulières que celles des abeilles : on ne veut pas voir, ou l’on ne se doute pas, que cette régularité, plus ou moins grande, dépend uniquement du nombre... plus elles sont nombreuses, plus il y a de forces qui agissent également et s’opposent de même, plus il y a par conséquent de contraintes mécaniques, de régularité forcée et de perfection apparente dans leur production ».
Analyse 2004
Jürgen TAUTZ dirige le groupe de recherches sur l’abeille de Würzburg. Christian Pirk, .Randall Hepburn, Sarah. Radloff & Jürgen TAUTZ ont publié leurs travaux dans : « Naturwissenschaften » (Springer éditeur) 91-7, juillet 2004 ( édition papier) et Springer Link  juin 2004 (éd. online) « Runde Rohlinge und Bienewärme ergeben perfekte Waben » - Prof. Dr. Jürgen TAUTZ , tél : 0049 931 888-4319 e-mail : tautz@bio-zentrum.uni-wuerzburg.de
Pour Jürgen TAUTZ , ce sont les recherches sur les organes sensoriels des abeilles qui ont permis ces découvertes. On savait déjà que les antennes sont des instruments de mesure très précis, utilisés pour établir l’épaisseur des parois : de 0,07 mm. On savait aussi que le sens de la pesanteur des abeilles joue un rôle dans cette construction.
Mais comment arrive-t-on à cette géométrie des cellules ? Les chercheurs allemands Christian Pirk et Jürgen TAUTZ (Würzburg), avec les Sud-Africains Randall Hepburn et Sarah Radloff (Rhodes University), ont montré que les abeilles se contentent de bâtir d’amples cylindres bien ronds. Mais pendant qu’elles travaillent la cire, elles en montent la température jusqu’à 40°C . La cire commencera alors à fondre et prendra la forme la plus « économe » en termes d’énergie : l’hexagone.
« La simulation est possible », explique Pirk. « De fins cylindres de cires mis en contact les uns avec les autres et chauffés, prennent tout naturellement la forme d’hexagones bien réguliers comme on en voit sur un rayon. » Les abeilles utilisent tout simplement quelques principes de Physique.
Les chercheurs ont aussi tordu le cou à une autre idée. Si on regarde le fond d’une cellule, on peut croire y voir trois triangles comme si des parallélogrammes s’emboîtaient. En fait, c’est une illusion d’optique qui provient de la seule disposition des cellules de l’autre face du cadre, vues à travers celles du coté où on regarde. Dans la réalité, le fond de chaque cellule construite par les abeilles est hémisphérique.
Conclusion
 
Régularité forcée, perfection apparente, serait ce le mot de la fin ? Et alors ? Devons-nous pour autant ne pas avoir d’admiration. Certes nos abeilles n’ont pas de calculateur à disposition, pourtant personne ne remet en cause leur génial sens de l’orientation, mais la perfection est bien là et peu importe le moyen qui y conduit. Leur force vient de leur nombre ; en cela l’homme n’a rien inventé. Une abeille isolée n’est pas grand chose même si c’est déjà une petite usine à elle seule. Sans une population importante elles ne passeraient pas l’hiver, elles ne pourraient se départager pour essaimer, elles ne pourraient stocker leurs récoltes avec efficacité sans compter les attaques dont la force vient également du nombre.

Date de création : 19/10/2010 @ 17:59 Dernière modification : 21/10/2010 @ 11:42 Imprimer l'article   Hyperlien
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